数学辅导，快速提高数学成绩

如何又快又好的学数学？
很多人的答案倾向于极端化，比如“他们只是比你用功，你又没看到而已”，再比如“如果你的目标是当数学家，我相信以大多数人的天赋之低，根本轮不到拼努力”。虽然这样的说法看起来很酷，但并不符合事实。

在真实的数学世界里，“天赋”和“努力”是两个很微妙的词语，你很难说谁更重要或者谁不重要。如果要笼统地回答，我只能说：需要一定的天赋，也需要相当程度的努力。但“天赋”和“努力”究竟分别需要达到什么程度，这就没有统一的答案了。

首先谈谈“学数学”——特别针对题主所说的大学本科生的“学数学”。在这个群体中，更重要的天赋并非智商，而是“对数学保持专注的能力”。注意我这里的用词，是“专注”而非“努力”。

无论是工科专业的微积分、线性代数、概率统计，还是数学专业的实变函数、拓扑学、抽象代数，都远远没有难到只有聪明人才能掌握的地步。一个头脑灵活、反应快的聪明人，和一个像我这样反应总是比别人慢半拍的普通人，区别只在于前者花一个小时能理解的东西，后者可能需要花几个小时才能理解。但无论如何，只要能付出足够的努力，总是能够理解它们的。

然而，我确实见过一些上课尽可能认真、用在自习上的时间也不少，但就是学得很差的同学。一般人（包括他们自己）会把他们称为“太笨了”。但这又跟我见过的另一些为数不少的确实笨（比如我自己）但经过一定的努力后数学成绩还过得去的同学的情况相悖。其根源实际上就是“对数学保持专注的能力”。每个同学都可以在自习室里坐一整天，但不是每个同学都能在这一整天里持续不断地吸收消化新知识（即使是以很慢的速度）。无法对数学保持专注的原因可能有很多，比如对数学有排斥心理、对数学毫无兴趣、缺乏学习动力、同时又没能力逼自己做不喜欢的事情。因此，有人说过“能够努力也是一种天赋”，这是非常正确的。

所以，对题主的问题，我的建议是：
1、正视“某些同学就是理解得比你快”的现实，这很正常，也没什么大不了的，不用强求学得“又快又好”。
2、只要在你的专业里数学是不可或缺的，那就要想办法培养对数学保持专注的能力，这包括避免排斥数学、激发自己的学习动力等。
3、在做到第2点的基础上，努力多上自习多动手做题（一定要亲自动手“做”而不能只盯着课本发呆！），慢慢磨。只要能学得进去，不管学得再慢，在付出足够多的时间后，你终究会发现“高数不高”的。

下面再谈谈“做数学”。虽然这已不是题主的问题，但因为前面的某些回答里涉及了做数学研究的天赋问题，我还是有必要澄清一些广泛的误解。

确实，数学界里聪明到令人发指的天才真的很多。但是，数学界里的“非天才”也很多。只不过，公众能在网上、报纸上看到的往往只是那些金字塔尖的天才的传说，而很少有机会了解金字塔中下层的“数学民工”的生活状态。其实，现代数学的分支多如牛毛，有天才大神齐聚的热门方向，也有全世界同行加起来不到10个人的冷门方向。只要根据自己的实力，找准自己的定 位，总是可以在某个（难度在自己够得着的范围内的）数学分支里做出一定的成就的。这里引用陶哲轩的一段博文：
The number of interesting mathematical research areas and problems to work on is vast – far more than can be covered in detail just by the “best” mathematicians, and sometimes the set of tools or ideas that you have will find something that other good mathematicians have overlooked, especially given that even the greatest mathematicians still have weaknesses in some aspects of mathematical research. As long as you have education, interest, and a reasonable amount of talent, there will be some part of mathematics where you can make a solid and useful contribution.
简单翻译一下：
有趣的数学研究领域和问题很多，仅仅依靠这些“”的数学家是不可能彻底研究所有领域的。即使伟大的数学家也会在数学研究的某些方面有弱点，而有时你所掌握的工具和想法是其他的数学家所忽视的。只要你受过教育，有兴趣，有一定的才智，你就可以在数学的某个领域做出实质性的贡献。
所以，对“做数学”而言，只能说那些牛人辈出的热门方向对“智商”的天赋要求很高。但如果把目光投向更广泛的没那么热门的数学分支，那么“兴趣+专注+持续不断的努力+一定的运气”才是更重要的。这里所谓“一定的运气”即是指在年纪不太大的时候就做到一个自己“够得着”的方向。

前面的答案里有人说“我认识的几个美国名校的数学Ph.D，智商不可谓不高，paper一发发一打的。我对他们奉若神明，但是他们在他们的圈子也是被淘汰下来的，他们是做不了faculty的”，这也并非实情，只能说他们做不了“他们看得上的学校”的faculty——欧美名校的Ph.D确实不太可能看得上张益唐所在的University of Newhampshire或者中国的三四线城市的“XX师院”这种层次的学校。但事实上，只要真心对数学研究感兴趣，愿意守在自己的一亩三分地里踏踏实实地做一些不一定辉煌但有意思的研究，是不愁找不到教职的——比如在中国，不仅985高校需要微积分老师，“XX师院”们也需要，而且现在三四线城市的不知名高校的教职收入也足以维持不错的小康生活（虽然跟金融等高薪行业不是一个数量级）。至于个人怎么选择，只看你更看重“做数学的乐趣”，还是更看重转去IT或金融行业可能得到的更高收入或在一线城市更体面的生活罢了。

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